Работа совершается в природе всегда, когда какое-либо тело в направлении его движения или против него действует сила (или несколько сил) со стороны другого тела (других тел).
Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы и на косинус угла между ними.
А= F · S ·соs , где А Дж); F – сила, (Н); S- перемещение, (м).
Энергия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную и наоборот. Учитывая значение Ек и Еп, закон сохранения механической
энергии можно записать так:
В состоянии 2 тело обладает кинетической энергией (так как уже развило скорость), но при этом потенциальная энергия уменьшилась, так как h 2 меньше h 1 . Часть потенциальной энергии перешло в кинетическую.
Состояние 3 — это состояние перед самой остановкой. Тело как бы только-только дотронулось до земли, при этом скорость максимальная. Тело обладает максимальной кинетической энергией. Потенциальная энергия равна нулю (тело находится на Земле).
Полные механические энергии равны между собой, если пренебрегать силой сопротивления воздуха.
Рассматриваемые вопросы:
Общие теоремы динамики механической системы. Кинетическая энергия: материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твердого тела (при поступательном, вращательном и плоском движении). Теорема Кенига. Работа силы: элементарная работа сил, приложенных к твердому телу; на конечном перемещении, силы тяжести, силы трения скольжения, силы упругости. Элементарная работа момента силы. Мощность силы и пары сил. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии изменяемых и неизменяемых механических систем (дифференциальный и интегральный вид). Потенциальное силовое поле и его свойства. Эквипотенциальные поверхности. Потенциальная функция. Потенциальная энергия. Закон сохранения полной механической энергии.
5.1 Кинетическая энергия
а) материальной точки:
Определение: кинетической энергией материальной точки называется половина произведения массы этой точки на квадрат её скорости:
Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной.
В системе СИ, единицей измерения энергии является джоуль:
1 дж = 1 Н?м.
б) системы материальных точек:
Кинетическая энергия системы материальных точек это сумма кинетических энергий всех точек системы:
(127)
в) абсолютно твердого тела:
1) при поступательном движении.
Скорости всех точек одинаковы и равны скорости центра масс, т.е. , тогда:
где М - масса тела.
Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела М на квадрат его скорости.
2) при вращательном движении.
Скорости точек определяются по формуле Эйлера:
(130)
Модуль скорости:
(131)
Кинетическая энергия тела при вращательном движении:
(133)
где: z - ось вращения.
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции этого тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
3) при плоском движении.
Скорость любой точки определяются через полюс:
(134)
Плоское движение состоит из поступательного движения со скоростью полюса и вращательного движения вокруг этого полюса, тогда кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
Кинетическая энергия через полюс «А» при плоском движении:
(135)
Лучше всего за полюс брать центр масс, тогда:
(136)
Это удобно потому, что моменты инерции относительно центра масс всегда известны.
Кинетическая энергия твердого тела при плоско-параллельном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.
Часто бывает удобным брать за полюс мгновенный центр скоростей. Тогда:
(137)
Учитывая, что по определению мгновенного центра скоростей его скорость равна нулю, то .
Кинетическая энергия относительно мгновенного центра скоростей:
(138)
Необходимо помнить, что для определения момента инерции относительно мгновенного центра скоростей необходимо применять формулу Гюйгенса - Штейнера:
(139)
Эта формула бывает предпочтительнее в тех случаях, когда мгновенный центр скоростей находится на конце стержня.
4) Теорема Кенига.
Предположим, что механическая система вместе с системой координат, проходящей через центр масс системы, движется поступательно относительно неподвижной системы координат. Тогда, на основании теоремы о сложении скоростей при сложном движении точки, абсолютная скорость произвольной точки системы запишется как векторная сумма переносной и относительной скоростей:
(140)
где: - скорость начала подвижной системы координат (переносная скорость, т.е. скорость центра масс системы);
Скорость точки относительно подвижной системы координат (относительная скорость). Опуская промежуточные выкладки, получим:
(141)
Это равенство определяет теорему Кенига.
Формулировка: Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.
5.2Работа силы.
Слово «энергия» в переводе с греческого означает «действие». Энергичным мы называем человека, который активно двигается, производя при этом множество разнообразных действий.
Энергия в физике
И если в жизни энергию человека мы можем оценивать в основном по последствиям его деятельности, то в физике энергию можно измерять и изучать множеством различных способов. Ваш бодрый друг или сосед, скорее всего, откажется повторить тридцать-пятьдесят раз одно и то же действие, когда вдруг вам взбредет на ум исследовать феномен его энергичности.
А вот в физике вы можете повторять почти любые опыты сколь угодно много раз, производя необходимые вам исследования. Так и с изучением энергии. Ученые-исследователи изучили и обозначили множество видов энергии в физике. Это электрическая, магнитная, атомная энергия и так далее. Но сейчас мы поговорим о механической энергии. А конкретнее о кинетической и потенциальной энергии.
Кинетическая и потенциальная энергия
В механике изучают движение и взаимодействие тел друг с другом. Поэтому принято различать два вида механической энергии: энергию, обусловленную движением тел, или кинетическую энергию, и энергию, обусловленную взаимодействием тел, или потенциальную энергию.
В физике существует общее правило, связывающее энергию и работу. Чтобы найти энергию тела, надо найти работу, которая необходима для перевода тела в данное состояние из нулевого, то есть такого, при котором его энергия равна нулю.
Потенциальная энергия
В физике потенциальной энергией называют энергию, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела. То есть, если тело поднято над землей, то оно обладает возможностью падая, произвести какую-либо работу.
И возможная величина этой работы будет равна потенциальной энергии тела на высоте h. Для потенциальной энергии формула определяется по следующей схеме:
A=Fs=Fт*h=mgh, или Eп=mgh,
где Eп потенциальная энергия тела,
m масса тела,
h - высота тела над поверхностью земли,
g ускорение свободного падения.
Причем за нулевое положение тела может быть принято любое удобное нам положение в зависимости от условий проводимых опыта и измерений, не только поверхность Земли. Это может быть поверхность пола, стола и так далее.
Кинетическая энергия
В случае, когда тело движется под влиянием силы, оно уже не только может, но и совершает какую-то работу. В физике кинетической энергией называется энергия, которой обладает тело вследствие своего движения. Тело, двигаясь, расходует свою энергию и совершает работу. Для кинетической энергии формула рассчитывается следующей образом:
A = Fs = mas = m * v / t * vt / 2 = (mv^2) / 2 , или Eк= (mv^2) / 2 ,
где Eк кинетическая энергия тела,
m масса тела,
v скорость тела.
Из формулы видно, что чем больше масса и скорость тела, тем выше его кинетическая энергия.
Каждое тело обладает либо кинетической, либо потенциальной энергией, либо и той, и другой сразу, как, например, летящий самолет.
В предыдущем параграфе было выяснено, что когда тела, взаимодействующие друг с другом силой упругости или силой тяжести, совершают работу, то изменяется взаимное расположение тел или их частей. А когда работу совершает движущееся тело, то изменяется его скорость. Но при совершении работы изменяется энергия тел. Отсюда можно заключить, что энергия тел, взаимодействующих силой упругости или силой тяжести, зависит от взаимного расположения этих тел или их частей. Энергия же движущегося тела зависит от его скорости.
Энергию тел, которой они обладают вследствие взаимодействия друг с другом, называют потенциальной энергией. Энергию же тел, которой они обладают вследствие своего движения, называют кинетической энергией.
Следовательно, энергия, которой обладает Земля и находящееся вблизи нее тело, - это потенциальная энергия системы Земля - тело. Для краткости принято говорить, что этой энергией обладает само тело, находящееся вблизи поверхности Земли.
Энергия деформированной пружины - это тоже потенциальная энергия. Она определяется взаимным расположением витков пружины.
Кинетическая энергия - это энергия движения. Кинетической энергией может обладать тело и не взаимодействующее с другими телами.
Тела могут обладать одновременно и потенциальной, и кинетической энергией. Например, искусственный спутник Земли обладает кинетической энергией, потому что он движется, и потенциальной энергией, потому что он взаимодействует силой всемирного тяготения с Землей. Падающий груз тоже обладает и кинетической, и потенциальной энергией.
Посмотрим теперь, как можно вычислить энергию, которой обладает тело в данном состоянии, а не только ее изменение. Для этой цели нужно из различных состояний тела или системы тел выбрать одно определенное состояние, с которым будут сравниваться все остальные.
Назовем это состояние «нулевым состоянием». Тогда энергия тел в любом состоянии будет равна работе, которая совершается
при переходе из этого состояния в пулевое состояние. (Очевидно, что в нулевом состоянии энергия тела равна пулю.) Напомним, что работа, совершаемая силон тяжести и силой упругости, не зависит от траектории движения тела. Она зависит только от его начального и конечного положений. Точно так же работа, совершаемая при изменении скорости тела, зависит только от начальной и конечной скорости тела.
Какое состояние тел выбрать за нулевое, безразлично. Но в некоторых случаях выбор нулевого состояния напрашивается сам собой. Например, когда речь идет о потенциальной энергии упруго деформированной пружины, естественно считать, что недеформированная пружина находится в нулевом состоянии. Энергия недеформированной пружины равна нулю. Тогда потенциальная энергия деформированной пружины будет равна той работе, которую совершила бы эта пружина, перейдя в недеформпрованноесостояние. Когда нас интересует кинетическая энергия движущегося тела, естественно принять за нулевое то состояние тела, в котором его скорость равна нулю. Кинетическую энергию движущегося тела мы получим, если вычислим работу, которую оно совершило бы, двигаясь до полной остановки.
Иное дело, когда речь идет о потенциальной энергии тела, поднятого на некоторую высоту над Землей. Эта энергия зависит, конечно, от высоты поднятия тела. Но тут нет «естественного» выбора нулевого состояния, т. е. того положения тела, от которого нужно отсчитывать его высоту. Можно выбрать за нулевое то состояние тела, когда оно находится на полу комнаты, на уровне моря, на дне шахты и т. д. Необходимо лишь при определении энергии тела на разных высотах отсчитывать эти высоты от одного и того же уровня, высота которого принята равной нулю. Тогда значение потенциальной энергии тела на данной высоте будет равно работе, которая была бы совершена при переходе тела с этой высоты на нулевой уровень.
Выходит, что в зависимости от выбора нулевого состояния энергия одного и того же тела имеет разные значения! В этом нет никакой беды. Ведь для вычисления работы, совершаемой телом, нам нужно знать изменение энергии, т. е. разность двух значений энергии. А эта разность никак не зависит от выбора нулевого уровня. Например, для того чтобы определить, на сколько вершина одной горы выше другой, безразлично, откуда отсчитывается высота каждой вершины. Важно лишь, чтобы она отсчитывалась от одного и того же уровня (например, от уровня моря).
Изменение как кинетической, так и потенциальной энергии тел всегда равно по абсолютной величине работе, совершенной действующими на эти тела силами. Но между обоими видами энергии имеется важное различие. Изменение кинетической энергии тела при действии на него силы действительно равно совершенной этой силой работе, т. е. совпадает с ней как по абсолютной величине, так и по знаку. Это непосредственно следует из теоремы о
кинетической энергии (см. § 76). Изменение же потепцналыюй энергии тел равно работе, совершенной силами взаимодействия, только по абсолютной величине, а по знаку противоположно ей. В самом деле, когда тело, на которое действует сила тяжести, перемещается вниз, совершается положительная работа, а потенциальная энергия тела при этом уменьшается. То же относится к деформированной пружине: при сокращении растянутой пружины сила упругости совершает положительную работу, а потенциальная энергия пружины уменьшается. Напомним, что изменение величины - это разность между последующим и предшествующим значением этой величины. Поэтому, когда изменение какой-нибудь величины состоит в том, что она увеличивается, это изменение имеет положительный знак. Наоборот, если величина уменьшается, ее изменение отрицательно.
Упражнение 54
1. В каких случаях тело обладает потенциальной энергией?
2. В каких случаях тело обладает кинетической энергией?
3. Какой энергией обладает свободно падающее тело?
4. Как изменяется потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести, при его движении вниз?
5. Как изменится потенциальная энергия тела, на которое действует сила упругости или сила тяжести, если, пройдя по любой траектории, тело вернется в исходную точку?
6. Как связана работа, совершаемая пружиной, с изменением ее потенциальной энергии?
7. Как изменяется потенциальная энергия пружины, когда недеформированную пружину растягивают? Сжимают?
8. Шарик подвешен к пружине и совершает колебания. Как изменяется потенциальная энергия пружины при ее движении вверх и вниз?
